En su obra El Arenario, Arquímedes se planteó un desafío que parecía imposible: calcular cuántos granos de arena cabrían en el universo. Su objetivo no era simplemente obtener un número colosal, sino demostrar que incluso las cantidades que parecen infinitas pueden representarse mediante un sistema numérico adecuado. En la antigua Grecia, los sistemas de numeración eran limitados, permitiendo manejar números solo hasta los 100 millones. Para superar esta restricción, Arquímedes ideó un método innovador basado en potencias de miríadas (10,000 unidades). Su sistema consistía en tres períodos sucesivos, cada uno multiplicando las cifras alcanzadas por potencias de 10, lo que le permitió manejar números que desafiaban la imaginación. Gracias a este enfoque, Arquímedes logró calcular un valor máximo de 108 · 106 (o 1014), una cifra asombrosa para su época. Sin embargo, resulta intrigante que decidiera detenerse en este punto, ya que su sistema no tenía límites teóricos y podía extenderse aún más. Esta elección ha desconcertado a estudiosos modernos, quienes especulan sobre los motivos detrás de su decisión. El valor de El Arenario va más allá de los números. Este trabajo no solo desafió las limitaciones de los sistemas de numeración de su tiempo, sino que también sentó las bases para una nueva forma de pensar sobre lo infinito y lo mensurable. Su legado influenció posteriormente a matemáticos como Nicolás Chuquet, quien en el siglo XV introdujo los términos «millón», «billón» y más, ayudando a expandir nuestra capacidad de manejar grandes cifras. El Arenario sigue siendo un testimonio del ingenio humano y una inspiración para quienes buscan comprender lo inabarcable. Es un ejemplo de cómo la matemática puede convertir lo infinito en algo tangible y comprensible.
La conjetura de Collatz es una propuesta matemática que ha fascinado y desconcertado a los matemáticos desde 1937, cuando fue formulada por el matemático alemán Lothar Collatz. La idea es aparentemente simple, pero su demostración ha resultado ser extraordinariamente complicada. La conjetura propone lo siguiente: dado un número entero positivo cualquiera, si este es par, se divide entre 2; si es impar, se multiplica por 3 y se le suma 1. Este proceso se repite con el resultado obtenido hasta llegar al número 1 o caer en un ciclo repetitivo. Por ejemplo, tomando el número 10, la secuencia generada sería: 10, 5, 16, 8, 4, 2, y finalmente 1. La conjetura establece que este procedimiento, independientemente del número inicial, siempre terminará alcanzando la secuencia 4, 2, 1, entrando así en un ciclo infinito. A pesar de lo sencillo que resulta entender la conjetura, su demostración formal ha eludido a los matemáticos durante décadas. La conjetura ha sido comprobada empíricamente para un rango inmenso de números, hasta aproximadamente 5.76 x 10^18, sin encontrar un solo caso que no termine en 1. Sin embargo, esta evidencia computacional no es suficiente para considerarla demostrada; se necesita una prueba analítica que garantice que no existe ningún número entero positivo para el cual la conjetura no sea cierta. El famoso matemático Paul Erd?s llegó a decir que «las matemáticas no estaban listas para resolver semejantes problemas», lo que subraya la dificultad de encontrar una prueba general. Recientemente, Terence Tao, un destacado matemático de la Universidad de California, ha aportado una nueva perspectiva a la conjetura de Collatz, logrando un avance significativo pero aún no definitivo. El enfoque de Tao utiliza la probabilidad para abordar el problema, sugiriendo que las «órbitas» generadas por el mapa de Collatz tienden a mantenerse dentro de ciertos límites en casi todos los casos. Esta afirmación, aunque no constituye una prueba completa, es un paso importante, ya que indica un patrón que podría eventualmente conducir a una demostración general. El avance más relevante de Tao se expresa en su teorema: para cualquier función f(N) definida para números enteros positivos, con la condición de que f(N) tienda al infinito cuando N aumenta, el valor mínimo en la secuencia de Collatz para un número N será menor que f(N) para casi todos los N. Si f(N) se toma como la función identidad (es decir, f(N)=N), entonces este resultado implica que el valor mínimo en la secuencia de Collatz para un número N es menor que el propio N, lo que sugiere que la secuencia tiende a reducirse y, por lo tanto, tiene posibilidades de llegar a 1. El problema con el enfoque de Tao radica en la expresión «para casi todos», lo cual implica un argumento probabilístico en lugar de una demostración determinista. Esto significa que su resultado no asegura que la afirmación sea válida para todos los números, sino para una proporción densa de casos en un sentido logarítmico. En términos prácticos, podría no aplicarse a un conjunto finito específico de números, aunque este conjunto sea grande. Es decir, sigue existiendo una «gran brecha entre ‘casi todos’ y ‘todos'», como Tao menciona en su blog, lo cual es precisamente lo que falta para una prueba definitiva. A pesar de no resolver completamente la conjetura, el trabajo de Tao ha abierto nuevas posibilidades en la forma de abordar este problema, introduciendo conceptos probabilísticos que anteriormente no habían sido explorados en este contexto. Es posible que estas ideas sean fundamentales para finalmente demostrar la conjetura de Collatz o, al menos, para acercarse más a una comprensión profunda del comportamiento de estas intrigantes secuencias numéricas.
